Бог и теорема Гёделя. Как математика ударила по атеизму

А началось все с того, что в десять лет я случайно наткнулся на научно-фантастический роман про межпланетные путешествия, прочел залпом — и увлекся астрономией. Начал читать популярную, а затем и более серьезную литературу, делал простейшие астрономические приборы, наблюдал за звездным небом.Но астрономия неотделима от математики и физики — и я стал изучать их по книгам, в каких-то областях оставив далеко позади школьную программу. К старшим классам я уже проникся внутренней красотой математики. И когда решил связать свою судьбу с педагогикой, с учительством — колебаний у меня не было. Преподавать буду именно математику!

Так я в 1983 году оказался на математическом факультете МГПИ имени В. И. Ленина. Надо сказать, что преподавание высшей математики там отвечало самым высоким требованиям. Я до сих пор с благодарностью вспоминаю своих преподавателей, которые не просто обучали своему предмету, но раскрывали его внутреннюю гармонию.

Впрочем, ближе к делу. В советское время среди прочих атеистических штампов очень популярна была идея о том, что религия — это торжество абсурда, что она никак не совместима с логическим мышлением, а логическое мышление — это основа основ, в мире есть только то, что описывается логикой. И вот я изучаю математическую логику, изучаю теорию числовых систем. Что же оказывается? Наши обыденные представления о логике поверхностны! Эта привычная нам логика неплохо работает на бытовом уровне, но если копнуть глубже — возникают неразрешимые парадоксы.

И более того: оказалось, что с помощью логики невозможно доказать истинность самой логики! Об этом говорит знаменитая теорема Гёделя о неполноте формальных систем. Цепочка логических доказательств может тянуться сколь угодно далеко, но у нее все равно есть начало, все равно есть некие исходные посылки, доказать которые невозможно. Невозможно в принципе!

Это был серьезный удар по моему атеизму. Во всяком случае, по той версии атеизма, которую нам вдалбливали. Логика, оказывается, не абсолютна, у нее, оказывается, есть границы применимости. И более того — «мощность множества истинных утверждений больше мощности множества доказуемых утверждений». А если перевести с математического на человеческий — есть бесконечно много утверждений, доказать которые принципиально невозможно, но которые тем не менее верны!

Так можно ли требовать от верующих доказательств существования Бога и, не получив таковые, утверждать, будто Бога нет? Сейчас мне все это кажется банальностью, но лет в двадцать было настоящим открытием!

И еще был такой расхожий атеистический штамп — каверзный вопрос, звучащий со времен средневековья: «Может ли Бог создать такой камень, который не смог бы поднять?». Этот простейший парадокс призван был доказать, что, говоря о всемогуществе Божием, верующие несут чушь. Но если взглянуть на математическую подоплеку этого парадокса, окажется, что это лишь один из примеров тех парадоксов, которые возникли в конце XIX века в теории множеств, когда вошло в оборот понятие «универсального множества». Попробую объяснить «на пальцах». Множество — это совокупность каких-либо объектов, они, эти объекты, называются элементами множества. Множества бывают конечные, а бывают бесконечные. Есть понятие универсального множества — то есть совокупности любых множеств. И есть понятие дополнения множества — то есть совокупности всего того, что в данное множество не входит. Теперь вопрос: а у универсального множества есть дополнение? Если есть — то какое же оно тогда «универсальное»? Получается, что-то в него не входит? А если нет у него дополнения — то опять-таки оно получается не универсальным. Должно ведь включать в себя всё, в том числе и собственное дополнение!

Да, парадокс есть. Но о чем он свидетельствует? Да о том, что наши обывательские представления о бесконечности нуждаются в коррекции. Я тогда впервые задумался: а в каком же смысле верующие понимают всемогущество Божие? Потом были и книги, и споры, и сейчас мне смешно становится, когда я слышу претензии вроде «если Бог всемогущ, почему Он не может сделать так, чтобы все немедленно стали счастливы?». Как мечтал сталкер Шухарт у Стругацких в «Пикнике на обочине»: «Счастья для всех, даром, и чтобы никто не ушел обиженным». Да потому и не может, отвечаю я, что задавать подобные вопросы — значит неправильно понимать Его всемогущество, пытаться описать бесконечность в категориях конечного, применять инструмент там, где он неприменим. Топором хорошо дрова колоть, но не трепанацию черепа делать.

А тут необходимо сказать, что в математике есть два разных понимания бесконечности. Есть «потенциальная бесконечность» — это когда просто нет какого-то конца, нет границы. Например, нет самого большого числа — потому что к любому числу можно прибавить единицу и получится большее число. Но есть и «актуальная бесконечность» — это когда бесконечный объект понимается как нечто единое, цельное, когда с ним делают то же, что и, например, с числами: то есть бесконечности складывают и вычитают, преобразовывают, сравнивают... Именно «актуальная бесконечность» и порождает всяческие парадоксы. Именно идеей актуальной бесконечности мы — не всегда осознанно! — пользуемся, когда рассуждаем о Боге и о том, что Он всемогущ, вездесущ и всеведущ. Именно тут и возникает «камень, который нельзя поднять». Но эти парадоксы если что и доказывают — так только то, что мир гораздо сложнее, чем те модели, с помощью которых мы его описываем. И что мышление наше далеко от идеала, не всё мы можем постичь.

Это знание мне помогло, когда я размышлял над непостижимостью Бога. Ведь, с точки зрения советского атеиста, непостижимость — это очень обидно, это унизительно! Мы же так были уверены, что человек — это венец мироздания, что «в мире много сил великих, // но сильнее человека // нет в природе ничего». И тут оказывается, что есть вещи, которые мы не только сейчас, при нынешнем уровне науки познать не сможем, но и при любом уровне не сможем никогда! Оказывается, что наше мышление не универсально, что не охватить им всего сущего, а то, что мы называем «научной картиной мира» — это всего лишь модель. И все познание наше — это замена одних моделей другими, более совершенными, но все равно только приблизительно описывающими реальность.

Теперь оказалось, что эта наша ограниченность — вовсе не злобная выдумка церковников с их любимой присказкой «неисповедимы пути Господни», а объективный факт, подтверждаемый самой что ни на есть объективной наукой — математикой.

А еще оказалось, что математика может помочь лучше уяснить некоторые богословские утверждения, найти для них какие-то зримые аналогии. К примеру, ересь ариан, утверждавших, что Христос — это не Бог по Своей сути, а лишь первое, наиболее совершенное творение Божие. Тут аналогия — луч. То есть часть прямой: есть начало, нет конца. «Полубесконечность» такая. А православный ответ: не луч, а прямая. Нет начала. Настоящая бесконечность. Или — что такое «теозис» («обожение»)? Как человек, существо конечное, может уподобиться бесконечному Богу? Тут на помощь приходит понятие потенциальной бесконечности — то есть, соединяясь с Богом, человек преодолевает свою ограниченность, возрастает, ему открываются новые горизонты, и конца этому процессу нет. Однако нет и тождества с Богом — подобно тому, как принципиально невозможно взаимнооднозначное соответствиеПредставьте себе множество кресел в кинотеатре — и множество зрителей. Если каждому зрителю найдется кресло и при этом все места будут заняты, тогда между этими двумя множествами есть «взаимнооднозначное соответствие». — Ред.* между множеством натуральных чисел (то есть 1, 2, 3...) и множеством действительных чисел (то есть вообще всех чисел, известных человеку со школьным образованием — включая всяческие квадратные корни, число и так далее).

Математика не заставила меня уверовать в Бога, она всего лишь сняла те умственные барьеры, которые дало атеистическое воспитание, она расчистила дорогу к вере. Уверовал я позднее, пройдя через сомнения и шатания. Но это уже совсем другая история.