Родился 27 января 1987 в Москве. В 2002 и 2005 годах Шунин привлекался в юношеские сборные команды России и Москвы. С 2007 года стал игроком молодежной сборной России. В апреле 2007 года дебютировал в основном составе «Динамо» в матче 6-го тура чемпионата России с командой «Химки», после чего был награжден премией «Открытие сезона» по версии Российского футбольного союза. 22 августа 2007 года Антон дебютировал в национальной сборной России в товарищеском матче против сборной Польши (2:2). В переходном сезоне 2011/12 Шунин выиграл конкуренцию у Владимира Габулова (который вскоре покинул команду) и провел почти все матчи в основном составе без замен, сыграв при этом 17 матчей «на ноль» и выдал сухую серию — «Динамо» не пропускало 461 минуту. В ноябре 2012 года во время игры «Динамо» — «Зенит» на 37-й минуте петербургскими болельщиками на поле была брошена петарда, попавшая в Шунина. В результате взрыва голкипер был оглушен, получил химический ожог роговицы и другие травмы. Матч был остановлен, «Зениту» позже было присуждено техническое поражение 0:3. В ходе сезона 2013/14 Шунин потерял место в стартовом составе клуба, которое вновь занял вернувшийся в «Динамо» Габулов. По итогам сезона 2015/16 «Динамо» впервые в истории вышло в ФНЛ. Шунин принял решение остаться в клубе, несмотря на предложения от других команд Премьер-лиги. После этого футболист стал капитаном команды и одним из ее лидеров. В 2019 году Антон вышел в стартовом составе в матче отборочного турнира Евро-2020 против Сан-Марино. В сентябре 2020 года Шунин сыграл два матча в основе сборной против команд Сербии и Венгрии в рамках Лиги наций УЕФА. По данным Transfermarkt, текущая стоимость игрока составляет €2,5 млн.
