Трисекция угла. Второй вариант циркулем и линейкой. (no replies)
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
1. Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Частные построения - [2].
2. В подтверждение разрешимости трисекции [1] приведем второй интересный пример этого. Если взять любой равнобедренный треугольник ΔABC с углами при его основании AC меньше 60̊ - Рис.1. - и построить такой же угол от правого, к примеру угла ^ACB=α, - угол ^BCD=α, то его внешний луч CD пересечёт луч продолжение AE от другого угла при основании в некоторой новой точке D.
Рис.1.
Геометрическое построение, содержащее в себе углы в отношении 1:3.
Углы ^ACB=α=^CAB при основании AC равнобедренного треугольника ΔABC. Добавляя справа угол ^BCD=α, получаем новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α=^CAD+^ACD=α+2α очевидно.(https://iimg.su/i/tyQKCB).
3. Этим создан новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α. Тогда мы имеем уже как минимум два построения, содержащие в себе углы в соотношении 1:3, что автоматически переводит «неразрешимую задачу трисекции угла» в нерешённую, при всем уважении к «доказательству Ванцеля», алгебраически бесспорному в частности!
4.Далее используется объект, называемый для краткости «r- полоса», определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной».
5.Пусть нам дан произвольный угол ^ABC=β (Рис.2) и используя небольшой произвольный отрезок r построим две r- полосы внутри площади этого угла: от луча AB как исходной прямой – шириной r, квантор (r), а от луча BC – полосу шириной 2r. Они пересекутся в некоторой точке D, и мы получим отрезок BD и отложим его дугой до луча BC, получая так точку E там и отрезок DE как основание равнобедренного треугольника ΔDBE.
Рис.2.
Трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60̊.
(Система Inkscape здесь). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным. (https://iimg.su/i/vbCpKU).
6. Длина отрезка DE превосходит 2r на величину DF и, разделив его пополам, построим из его середины перпендикуляр на прямую (r), получая так точку L там и отрезок BL также. Отложим его до луча BC, получая так точку M там и отрезок LM как основание нового равнобедренного треугольника ΔLBM.
7. Если LM больше 2r, то действуем по схеме п.6., если LM=2r, то мы получаем решение трисекции угла ^ABC=β, так как равнобедренный треугольник ΔLBM тогда состоит из двух равных прямоугольных треугольников с малым r- катетом, а третий такой же получается, если из точки L опустить перпендикуляр на прямую (r). Здесь будет равенство треугольников по общей гипотенузе и малым r-катетам их.
8. Построения п.6-7 проводятся 1-2 раза для достижения трисекции β- угла как правило. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. В большинстве построений достаточно 1-2 повторений предлагаемого алгоритма для отличного результата. При аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью в 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную и не более.
9. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
10. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
11. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).