Российский математик решил задачу, 192 года считавшуюся нерешаемой
Чтобы понять масштаб, удобно сравнить с тем, что знакомо по школе. Для квадратного уравнения есть готовая формула через дискриминант: подставил коэффициенты — получил ответ. В высшей математике часто встречается похожая по структуре запись, но гораздо более капризная: в ней фигурируют не просто числа, а функции, которые меняются от точки к точке, а вместо возведения в квадрат появляется операция, описывающая, насколько быстро величина ускоряется или тормозит. В терминах популярного объяснения ВШЭ это похоже на расчёт времени в пути: по ровной дороге всё просто, но если покрытие, ветер и уклон постоянно меняются, универсальная оценка превращается в задачу другого уровня сложности. Именно для таких «дорог с переменными условиями» Ремизов предлагает общий рецепт.
Главная интрига в том, что учёный не пытается опровергнуть классический запрет, сформулированный французским математиком Жозефом Лиувиллем в XIX веке. Он доказал невозможность выразить решение дифференциальных уравнений второго порядка через стандартный набор действий и элементарные функции. То есть нельзя ожидать, что решение всегда удастся записать как конечную комбинацию привычных действий и стандартных функций.
Ремизов выбирает другой ход: он расширяет набор допустимых инструментов всего на одну операцию — переход к пределу, то есть к тому, что получается, когда мы делаем шаги всё меньше и меньше, а их число стремится к бесконечности.
В человеческом языке это выглядит так. Представьте, что ответ — это большая картина, которую трудно разглядеть целиком. Но можно снять процесс её создания на видео, а потом воспроизвести запись с огромной частотой кадров, где каждый кадр — очень простой и понятный фрагмент. «Наша теорема позволяет “нарезать” этот процесс на множество маленьких простых кадров… и восстановить облик, быстро прокручивая “киноленту” её создания», — объясняет Ремизов. То, что раньше не удавалось выразить «одной красивой строкой», теперь предлагается собирать как предел последовательности всё более точных приближений.
Почему это не просто игра в слова, а настоящая математика? Потому что за «кинолентой» стоит строгая теория приближений (аппроксимации Чернова) и аккуратное доказательство сходимости: в статье во Vladikavkaz Mathematical Journal говорится, что преобразования Лапласа таких приближений сходятся к оператору, который фактически и задаёт решение задачи, а в качестве следствия получается новое представление решения уравнения через сами функции-коэффициенты, стоящие в исходной записи.
И это не «подбор частного трюка» под отдельный пример, а общий принцип, позволяющий строить решение конструктивно, шаг за шагом, с гарантией, что в пределе вы придёте к точному ответу.
Практическая ценность таких результатов обычно проявляется не в виде мгновенной кнопки «решить всё», а как новая оптика. Дифференциальные уравнения — универсальный инструмент физики и инженерии, а когда коэффициенты меняются, на первый план выходят специальные функции и сложные режимы поведения систем. Поэтому идея «получать ответ из коэффициентов по единому рецепту» важна и для фундаментальных задач, и для прикладных — от моделирования колебаний до расчётов в средах, где параметры постоянно меняются. В публичных пересказах подчёркивается и ещё одна деталь: форма записи напоминает по духу «суммирование по бесконечному числу маленьких вкладов», которое физики узнают по фейнмановскому стилю рассуждений о траекториях, — как минимум на уровне красивой, понятной аналогии между математикой и языком современной теоретической физики.
Сам Ремизов, комментируя внимание к работе, отмечает, что узкие специалисты знали о результатах и раньше — по профессиональным обсуждениям, — а широкая известность пришла совсем недавно, поэтому о «реакции сообщества» говорить преждевременно. Это тоже типично для математики: её прорывы сначала выглядят как новая связка ключей, и только со временем становится ясно, какие двери ими открываются — в теории, вычислительных методах и прикладных моделях.