243. Как правильно: «31 мужчина» или «31 мужчин»?

Корректно: 31 мужчина (и. п.), 31 мужчины (р. п.), 31 мужчине (д. п.) etc.

При составном количественном числительном, оканчивающемся на один, исчисляемое существительное будет в единственном числе: тридцать один разгневанный мужчина, Книга тысячи и одной ночи.

К сказуемому при таком подлежащем (числительное на один + существительное) обычно применяется формальное согласование в ед. ч.: на акции за свободные выборы задержан 81 подросток. Однако с дополнением, явно указывающим на множественность, предпочтительно согласование сказуемого по смыслу: жертвами наводнения в Крымске стали 171 человек (подлежащее сохраняет форму ед. ч.). Сравните: в результате наводнения в Крымске погиб 171 человек. См. также вопрос 152.

Способ записи числительного (словами или цифрами) на согласование не влияет.