УГЛЫ В КРУГЕ, СОСТАВЛЯЕМЫЕ ХОРДАМИ И ТРИСЕКЦИЯ УГЛА – ДВА ПРОСТЫХ АЛГОРИТМА ПРЯМОГО РЕШЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ БЕЗ ДЕЛЕНИЙ. (no replies)
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Там же показано, что трисекция углов 54̊ и 67.5̊ исполняется этим построением. Частные построения – [2].
Ниже используется объект, называемый для краткости «r- полоса» определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними. Существующая прямая называется «исходной» прямой, а созданную построением – называем «граничной». Этот простейший объект элементарной геометрии оказался весьма продуктивным в построениях автора. Предлагаемый алгоритм по мнению автора является наиболее простым и очевидным и потому каких-либо доказательств не требует.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β – Рис.1., и построим окружность радиуса R с центром O, удобную для дальнейшего и от её диаметра VW построим r-полосу, граничная прямая которой образует дуги ̌VU и ̌WS и хорды VU и WS. Из точки S отложим дугу ̌WS вверх – точка T и дуга ̌WT также.
https://iimg.su/i/9mKc4P
Рис.1.
Пример трисекции острого угла.
(Система Inkscape). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным.
2. Итак, мы имеем справа дугу вдвое большую, чем слева. Соединяя прямыми точки T с V и W с U получаем в их пересечении точку Q и служебный угол ^TQW= ( ̌VU+ ̌WT)/2=3 ̌VU/2. Ей отвечает центральный угол ^VOU и потому ^TQW=3/2^VOU, или 3^VOU=2^TQW, ^VOU=2/3^TQW, ^VOU/2=^TQW/3, что означает трисекцию служебного угла ^TQW прямым построением.
Перенося угол ^TQW в нижнюю половину окружности как центральный там, построим его биссектрису OZ и от неё в обе стороны строим половины угла ^ABC= β, и подлежащего трисекции. При этом для R- окружности получим две δ- дуги. Если угол β больше угла ^TQW, то δ- дуги будут во вне угла ^TQW, иначе – наоборот внутри его площади. Считаем, что β > ^TQW здесь. Откладывая ̌δ по R- окружности от точки W ниже диаметра VW – точка С, получаем дугу ̌SC, которую теперь откладываем вверх от точки S, получая так дугу ̌ AC справа и действуя аналогично получим дугу ̌UD слева, меньшую вдвое соответственно.
3. Соединяя прямыми попарно точки A с D и C с U в пересечении прямых имеем точку B и угол ^ABC=β соответственно. Тогда ^ABC=β=(̌AC+̌UD)/2=3̌UD/2. Центральный угол, опирающийся на дугу ̌UD есть угол ^UOD и потому ^ABC=^ 3/2^UOD, 2^ABC=3^UOD, ^ABC=3/2^UOD= ^ABC=3(^UOD/2), что и решает трисекцию этого β- угла!
4. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. При обязательном максимально аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью не менее 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную.
5. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
6. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
7. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).