Трисекция углы, составляемые хордами. (no replies)
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Там же показано, что трисекция углов 54̊ и 67.5̊ исполняется этим построением. Частные построения – [2].
Предлагаемый алгоритм по мнению автора является наиболее простым и очевидным и потому каких либо доказательств не требует.
1. Пусть нам дан произвольный острый угол ^ABC=β – Рис.1., и построим BD- биссектрису угла ^ABC – луч BD. Продолжим луч AB за вершину B получая прямую AG и используя небольшой произвольный отрезок длиной d на ней от вершины B, отложим его ещё раз фиксируя этим точку G. Из его середины – точка E строим перпендикуляр до луча BD – точка O и соединяем O с G получая угол ^GOB, который делим пополам биссектрисой OF.
https://iimg.su/i/mspL0F
Рис.1.
Трисекция угла ^ABC=β=84̊: ^SDG=β/3=28̊.
(Система Inkscape). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным.
2. Проводя дугу радиуса OG до луча BD - ̌OG(O) фиксируем точку F как точку пересечения дуги с OF биссектрисой и получаем хорду FG. Половину её откладываем по AG из точки G – точка H и из неё также проводим перпендикуляр до луча BD – фиксируя этим точку D там.
3. Полученный угол ^GDB делим пополам биссектрисой DS и проводим дугу ̌DG(D) до луча BD – точка M там. Теперь из точки S на прямой AG отрезок SG откладываем до луча BD и эта дуга точно приходит в точку M.
4. И мы проверили итог – решение трисекции угла ^ABC так как тогда подтверждено, что равнобедренные треугольники ΔGDS=ΔSDM равны по трём равным сторонам. Это означает, что ^GDS=^SDM=β/3, ^GSM=180-β/3, а угол между хордами DS и SM равен β/3, что нам и требуется в итоге всего этого.
5. Если п.3 не выполнен точно, то тогда строим хорду GM и делим её пополам и из этой точки N строим перпендикуляр до луча AG - точка Q на нём и отрезок GQ середина которого точка P с перпендикуляром создающим точку T на луче BD. Далее действуем как в п.3-4. Реально п.5 не потребовался во всём тестировании – β-трисекция достигалась раньше использованием п.1-4 как правило.
6. Тестирование проводилось в диапазоне углов 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. При обязательном максимально аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью не менее 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную.
7. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
8. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
9. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).